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1.

(3)->(4)

$$q_{n+1}- q_n-hv_n-\frac{h^2}{M}f_{ext}= \frac{h^2}{M}f_{int}(q_{n+1})$$ $$\frac{1}{h^2}M(q_{n+1}- s_n)= f_{int}(q_{n+1})$$

右边项左移然后对$q_{n+1}$积分, 注意$q_{n+1}$为矩阵, 矩阵的积分请参见

$$\begin{align}& \int\frac{1}{h^2}M(q_{n+1}- s_n)dq_{n+1} - \int f_{int}(q_{n+1})dq_{n+1} \\&=\frac{1}{h^2}\int M^{\frac{1}{2}}(q_{n+1}- s_n)d(M^{\frac{1}{2}}(q_{n+1}- s_n)) + \sum_i W_i(q_{n+1})\\& =\frac{1}{2h^2}(M^{\frac{1}{2}}(q_{n+1}- s_n):M^{\frac{1}{2}}(q_{n+1}- s_n)) + \sum_i W_i(q_{n+1})\\&=\frac{1}{2h^2}\|M^{\frac{1}{2}}(q_{n+1}- s_n)\|_F^2 + \sum_i W_i(q_{n+1})\end{align}$$

得证.

2.

(8)式中的第二、三项是(4)式中的W项

3.

(8)->(10)

对(8)式相对$q$求导,然后令其为0

4.Gauss-Seidel 和 Jacobi 算法的比较

5.令

δC(q+Δq)=0

$\delta_C(q+\Delta q)=0$ 则$C(q+\Delta q) = C(q) + \nabla C(q):\Delta q=C(q) +tr(\nabla C(q)^T\Delta q) = 0$

对(12)式求导

$$\frac{\partial (\frac{1}{2}(M^{\frac{1}{2}}\Delta q:M^{\frac{1}{2}}\Delta q)+\lambda( C(q) + \nabla C(q):\Delta q) )}{\partial \Delta q} = M\Delta q + \lambda \nabla C(q) = 0$$